一元二次方程常见来自的四种解法及其适用对象
一元二次方程常见的四种解法有:配方法，公式法，直接开方法，十字相乘法四种。其中形如:(x+a)^2=b的用直接开方法。配方法和公式法适合所有有解的一元二次方程，只不过通常都用公式法解这样比配方法更快更容易些。对于一些特殊的形如:x^2+bx+c=0，左边可以进行因式分解的则用十字相乘法更简便。
一元二次方程的四种解法例题和过程和方法
解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解法：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。[例题]1、直接开平方法：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)2=n(n≥0)的方程，其解为x=m±.例1．解方程（1）(3x+1)2=7（2）9x2-24x+16=11分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)2，右边=11>0，所以此方程也可用直接开平方法解。（1）解：(3x+1)2=7×∴(3x+1)2=5∴3x+1=±(注意不要丢解)∴x=∴原方程的解为x1=,x2=（2）解：9x2-24x+16=11∴(3x-4)2=11∴3x-4=±∴x=∴原方程的解为x1=,x2=2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0(a≠0)先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c将二次项系数化为1：x2+x=-方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+()2=-+()2方程左边成为一个完全平方式：(x+)2=当b2-4ac≥0时，x+=±∴x=(这就是求根公式)例2．用配方法解方程3x2-4x-2=0解：将常数项移到方程右边3x2-4x=2将二次项系数化为1：x2-x=方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x+()2=+()2配方：(x-)2=直接开平方得：x-=±∴x=∴原方程的解为x1=,x2=.3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，把各项系数a,b,c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。例3．用公式法解方程2x2-8x=-5解：将方程化为一般形式：2x2-8x+5=0∴a=2,b=-8,c=5b2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0∴x===∴原方程的解为x1=,x2=.4．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。例4．用因式分解法解下列方程：(1)(x+3)(x-6)=-8(2)2x2+3x=0(3)6x2+5x-50=0(选学）(4)x2-2(+)x+4=0（选学）(1)解：(x+3)(x-6)=-8化简整理得x2-3x-10=0(方程左边为二次三项式，右边为零)(x-5)(x+2)=0(方程左边分解因式)∴x-5=0或x+2=0(转化成两个一元一次方程)∴x1=5,x2=-2是原方程的解。(2)解：2x2+3x=0x(2x+3)=0(用提公因式法将方程左边分解因式)∴x=0或2x+3=0(转化成两个一元一次方程)∴x1=0，x2=-是原方程的解。注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解，应记住一元二次方程有两个解。(3)解：6x2+5x-50=0(2x-5)(3x+10)=0(十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错)∴2x-5=0或3x+10=0∴x1=,x2=-是原方程的解。(4)解：x2-2(+)x+4=0（∵4可分解为2·2，∴此题可用因式分解法）(x-2)(x-2)=0∴x1=2,x2=2是原方程的解。
略谈一元二次方程的四种解法所体现的数学思想
我们都应该知道，一元二次方程有四种解法：直接开平方法、配方法、求根公式法、分解因式法。但是现实往往却是：有的学生只记住了“求根公式法”，有的学生只记住了“配方法”，有的同学则记住了“十字相乘法”......遇到形如“3（x-2）2=5”这样的方程，还要化为一般式后再用求根公式的同学大有人在；遇到形如“3x2-2x=0”这样的方程，仍然套用求根公式的同学也是不胜枚举。
那么，该如何让学生明白一元二次方程四种解法之间的关系呢？
一、最根本的方法——直接开平方法
解方程的基本策略是“消元”和“降次”——即把多元方程转化为一元方程，把高次方程转化为低次方程。
面对形如“ax2+bx+c=0”（a和n同号）”形式的一元二次方程，其本质上是直接运用平方根的定义和性质，根据平方和开平方互为逆运算的特点，直接开平方来达到“降次”的目的的。
例2、（2022·杭州）某网络学习平台2019年的新注册用户数为100万，2021年的新注册用户数为169万，设新注册用户数的年平均增长率为x（x＞0），则x＝ （用百分数表示）．
【分析】2019年的注册用户为100万，以x的增长率增长，则2020年较2019年增长了100x万，到2020年底注册用户达到了100+100x=100（1+x）万；则2021年较2020年增长了100（1+x）x万。到2021年底注册用户达到了100（1+x）+100（1+x）x=100（1+x）2万，即100（1+x）2=169，运用直接开平方法求解，得到x=-1±1.3，即x1=-2.3（舍去），x2=0.3=30%。
【建立模型】基础量为a，以x的增长率增长一次后的增长量为ax，则增长一次后的量为a+ax=a（1+x）；以a（1+x）为基础量，以x为增长率再增长一次后的增长量为a（1+x）x，又增长一次后的产量达到了a（1+x）+a（1+x）x=（1+x）2.
【画外音】从一类问题中，找到解决这一类问题的通用方法，并用这种通用的方法来解决类似的问题，这种方法就是“建模法”！如果这种方法都不让学生学习，岂不与数学学习的本质相违背？岂不不因噎废食？如果这种方法也被扣上“套路化”的标签，那么恐怕命题人就有点“作茧自缚”了.
一、最能体现转化思想的方法——配方法
转化划归思想是最常用的数学思想方法之一——即把复杂的问题转化为简单的问题，把没有学过的问题转化为学过的问题都是转化划归思想，简称转化思想！请看：
【画外音】不知道把“配方法”这种“系数化1——配方——移项——直接开平方”进行“套路化”的方法值不值得提倡？？？
把一元二次方程的一般式进行“套路化”的配方，如何？？？
一元二次方程的求根公式，其本质就是把一般式的一元二次方程用“配方法”的“套路”进行“配方”，把其结果“套路化”为一个“模型”——当过一个“公式”！这个推导求根公式的过程就是“建模”的过程，这个用一元二次方程的三个系数表示的根就是建立起来的“模型”，运用求根公式法解一元二次方程的过程就是“套路化”的运用“模型”的过程！
【画外音】一劳永逸建模法！建立了这个一元二次方程的求根公式模型，对于任意一个一元二次方程，在b2-4ac≥0的前提下，我们都可以代入求根公式这个通法模型进行求解！——这个“套路”用的理直气壮！
四、最能综合体现解方程的基本思想和策略的灵活性的方法——因式分解法
因式分解法解一元二次方程，是在比较容易分解因式的情况下解一元二次方程的最简单的方法。
分解因式法解一元二次方程，集中体现了运用转化思想进行降次的基本策略，分解因式时，要根据一元二次方程的具体形式选择合适的方法分解因式，具有一定的灵活性。
每一种方法都值得尊重！一元二次方程的解法有四种，四种方法各有千秋。解一元二次方程时，要根据一元二次方程的具体表现形式，选择适当的方法进行求解。
研究“模型教学”，不是研究“教模型的教学”，而是研究让学生深刻领会“建模思想”和“建模意识”，唤醒学生的“模型意识”，逐渐培养学生的“模型观念”的教学。对于“模型教学”，要避免两个极端：一是不尊重教学规律，不问来路，只求短平快的一味的追求效果、唯分数论的“套路化”的“套路教学”以及过分夸大“模型”的作用，忽视数学本质的“教模型的教学”的拥趸派；二是不问青红皂白就当头棒喝，大谈什么“模型教学”禁锢思维，以为模型教学就是要“讲套路”“套模型”的反对派！
当然，话又说回来：数学离不开解题。既然数学还要考试，有命题研究就有解题研究。对于一些常见的题型，进行归类整理，进行模型化处理，让学生体会到模型的威力和魅力，逐渐树立建模意识，形成模型观念，从而大大节约教学时间，提高教学效率。另一方面，模型教学能让部分对数学逐渐丧失信心的同学们感觉到是数学学习也是“有章可循”的，“有套路”可以走“捷径”的——而不是让学生“茫茫题海何处是岸”苦行僧似的需要在题海遨游而乐此不疲的，这不也正是和当今sj政策相吻合的吗？
模型就是模型，套路就是套路；建模就是建模，模型教学就是模型教学；模型意识就是模型意识，建模思想就是建模思想......
2022年4月13日——16日，咱们继续相约云端，咱们继续进行模型教学研讨！你想学模型也好，你想学建模也好，你想学模型教学也好，你想更加深刻的领会新课程标准理念下的“模型意识”和“模型观念”的理论。
把生活中的实际问题，抽象成数学问题，建立起相应的数学模型来解决相关问题，无疑正是数学的本质和目的，是为建模，是为模型意识和模型观念。而找到解决一类问题（可以是生活中的问题，为什么不可以是数学问题呢？）的通法，并用这种方法来解决一大批的同一类问题（也可以是纯粹的数学问题）的多题归一、多题一法、一劳永逸，这才是真正的数学建模思想，这才是更加广泛的模型意识和模型观念。
如何理解新课标理念下的模型意识和模型观念？
一切都在2022年8月13——16日的第四届全国中考数学模型教学研讨会！
模型教学研讨会，是要强调“套路”的，但绝不仅仅是强调“套路”！所以，某些大咖“当前的中考下，这种模型研讨与中考导向是背道而驰的”的忠告其实也是略失偏颇的！
欢迎参加8月13_14日举行的第四届“中考数学模型教学研讨会”！这里有知名的命题人！这里有各路解题高手！这里有来自去昂国各地的数学爱好者！
单独看待一个地区的中考，未免有点片面；听听这些游刃在全国中考之间的各路大神他们的见解和声音也许对我们的教学和命题才更有帮助！
1、近一段忙于俗务，公众号已经一个多月没有及时更新了。人总是有惰性的，感谢“挑战中考压轴题名师团”成员常雅利老师的辛勤付出和督促；
2、拟定于2022年8月13日——16日召开第四届模型教学研讨会。“挑战中考压轴题名师团”成员均可半价参会。近期会为“挑战中考压轴题名师团”单独建群，相关活动也将在秋季陆续开展；
3、欢迎“挑战中考压轴题名师团”相关成员在本公众号刊发教学研究心得。优秀文章将给相关杂志进行推荐。
关于《沙场秋点兵》《春季攻势》和《冲刺十招》：
1、2022新版《沙场秋点兵》近期修订中，预计8月上旬第四届模型教学研讨会前出来；尚有少量《春季攻势》和《冲刺十招》欢迎联系：13083669383
三、关于“第三届模型教学研讨会”：
来自：一个大风子>《初中》
急求解一元二次方程的好方法
1．一元二次方程的定义一元二次方程有三个特点：(1)只含有一个未知数；(2)未知数的最高次数是2；(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式我们把(a≠0)叫做一元二次方程的一般形式，特别注意二次项系数一定不为0，b、c可以为任意实数，包括可以为0，即一元二次方程可以没有一次项，常数项．(a≠0)，(a≠0)，(a≠0)都为一元二次方程．3．一元二次方程的解法一元二次方程的解法有四种：(1)直接开平方法；(2)因式分解法；(3)配方法；(4)公式法．要根据方程的特点灵活选择方法，其中公式法是通法，可以解任何一个一元二次方程．4．一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式为．△>0方程有两个不相等的实数根．△＝0方程有两个相等的实数根．△上述由左边可推出右边，反过来也可由右边推出左边．5．一元二次方程根与系数的关系如果一元二次方程(a≠0)的两个根是，那么．6．解应用题的步骤(1)分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系；(2)设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数；(3)找出相等关系，并用它列出方程；(4)解方程求出题中未知数的值；(5)检验所求的答数是否符合题意，并做答．【解题思想】1．转化思想转化思想是初中数学最常见的一种思想方法．运用转化的思想可将未知数的问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题．在本章中，将解一元二次方程转化为求平方根问题，将二次方程利用因式分解转化为一次方程等．2．从特殊到一般的思想从特殊到一般是我们认识世界的普遍规律，通过对特殊现象的研究得出一般结论，如从用直接开平方法解特殊的问题到配方法到公式法，再如探索一元二次方程根与系数的关系等．3．分类讨论的思想一元二次方程根的判别式体现了分类讨论的思想．【经典例题精讲】1．对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．2．解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，再考虑用公式法．3．一元二次方程(a≠0)的根的判别式正反都成立．利用其可以(1)不解方程判定方程根的情况；(2)根据参系数的性质确定根的范围；(3)解与根有关的证明题．4．一元二次方程根与系数的应用很多：(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．
一元二次方程有哪些解法，那个方法用到了降次？
解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解法： 1、直接开平方法；
2、配方法；3、公式法；先将常数c移到方程右边：ax^2+bx=-c 将二次项系数化为1：x^2+b/ax=- c/a 方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x^2+b/ax+( b/2a)^2=- c/a+( b/2a)^2; 方程左边成为一个完全平方式：(x+b/2a )2= -c/a﹢﹙b/2a﹚² 当b²-4ac≥0时，x+b/2a =±√﹙﹣c/a﹚﹢﹙b/2a﹚² 扩展资料只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。一元二次方程经过整理都可化成一般形式ax²+bx+c=0（a≠0）。其中ax²叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。一元二次方程成立必须同时满足三个条件：
①是整式方程，即等号两边都是整式，方程中如果有分母；且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程，方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程）。②只含有一个未知数；③未知数项的最高次数是2。
一元二次方程求根公式（经典实用）
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1、主讲：黄冈中学高级教师一、一周知识概述1、一元二次方程的求根公式将一元二次方程ax2bxc=0(a0)进行配方，当b24ac0时的根为该式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法，简称公式法说明：(1)一元二次方程的公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2bxc=0(a0)；(2)由求根公式可知，一元二次方程的根是由系数a、b、c的值决定的；(3)应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程，但应用时必须先将其化为一般形式.2、一元二次方程的根的判别式（1）当b24ac0时，方程有两个不相等的实数根；（2）当b24ac=0时，方程有两个相等的实数
2、根；（3）当b24ac0时，方程没有实数根二、重难点知识1、对于一元二次方程的各种解法是重点，难点是对各种方法的选择，突破这一难点的关键是在对四种方法都会使用的基础上，熟悉各种方法的优缺点。(1)“开平方法”一般解形如“”类型的题目，如果用“公式法”就显得多余的了。(2)“因式分解法”是一种常用的方法，一般是首先考虑的方法。(3)“配方法”是一种非常重要的方法，一般不使用，但若能恰当地使用，往往能起到简化作用，思考于“因式分解法”之后，“公式法”之前。如方程；用因式分解，则6391这个数太大，不易分解；用公式法，也太繁；若配方，则方程化为，就易解，若一次项系数中有偶因数，一般也应考虑运用。
3、(4)“公式法”是一般方法，只要明确了二次项系数、一次项系数及常数项，若方程有实根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入(0)求值，所以对某些特殊方程，解法又显得复杂了。2、在运用b24ac的符号判断方程的根的情况时，应注意以下三点：（1）b24ac是一元二次方程的判别式，即只有确认方程为一元二次方程时，才能确定a、b、c，求出b24ac；（2）在运用上述结论时，必须先将方程化为一般形式，以便确认a、b、c；（3）根的判别式是指b24ac，而不是三、典型例题讲解例1、解下列方程：(1)；(2)；(3).分析：用求根公式法解一元二次方程的关键是找出a、b、c的值，再代入公式计算，解：(1)因
4、为a=1，c=10所以所以(2)原方程可化为因为a=1，c=2所以所以.(3)原方程可化为因为a=1，c=1所以所以；所以总结：(1)用求根公式法解一元二次方程首先将方程化为一般形式；如果二次项系数为负数，通常将其化为正数；如果方程的系数含有分母，通常先将其化为整数，求出的根要化为最简形式；(2)用求根公式法解方程按步骤进行例2、用适当方法解下列方程：分析：要合理地选用适当的方法解一元二次方程，就必须熟悉各种方法的优缺点，处理好特殊方法和一般方法的关系。就直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法这四种方法而言，配方法、公式法是一般方法，而开平方法、因式分解法是特殊方法。公
5、式法是最一般的方法，只要明确了二次项系数、一次项系数和常数项，若方程有实根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入一元二次方程的求根公式求值，所以对某些方程，解法又显得复杂了。如，可以直接开平方，就能马上得出解；若此时还用求根公式就显得繁琐了。配方法是一种非常重要的方法，在解一元二次方程时，一般不使用，但并不是一定不用，若能合理地使用，也能起到简便的作用。若方程中的一次项系数有因数是偶数，则可使用，计算量也不大。如，因为224比较大，分解时较繁，此题中一次项系数是-2。可以利用用配方法来解，经过配方之后得到，显得很简单。直接开平方法一般解符合型的方程，如第小题。因式分解法是一种常用的方
6、法，它的特点是解法简单，故它是解题中首先考虑的方法，若一元二次方程的一般式的左边不能分解为整数系数因式或系数较大难以分解时，应考虑变换方法。解：两边开平方，得所以配方，得所以所以配方，得所以所以因为所以=420=24所以所以配方：所以所以整理，得所以移项，提公因式，得所以小结：以上各题请同学们用其他方法做一做，再比较各种方法的优缺点，体会如何选用合适的方法，下面给出常规思考方法，仅作参考。例3、已知关于x的方程ax23x1=0有实根，求a的取值范围.解：当a=0时，原方程有实根为若a0时，当原方程有两个实根.故，综上所述a的取值范围是.小结：此题要分方程ax23x1=0为一元
7、一次方程和一元二次方程时讨论，即分当a=0与a0两种情况例4、已知一元二次方程x24xk=0有两个不相等的实数根.(1)求k的取值范围；(2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x24xk=0与x2mx1=0有一个相同的根，求此时m的值.解：(1)因为方程x24xk=0有两个不相等的实数根，所以b24ac=164k0，得k4.(2)满足k4的最大整数，即k=3.此时方程为x24x3=0，解得x1=1，x2=3.当相同的根为x=1时，则1m1=0，得m=0；当相同的根为x=3时，则93m1=0，得所以m的值为0或例5、设m为自然数，且3m40，方程有两个整数根求m的值及方程的根。解：，方程有整数根，4（2m1）是完全平方数。3m4072m1812m1值可以为9，25，49m的值可以为4，12，24。当m=4时方程为解得x=2或x=8当m=12时方程为解得x=26或x
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一元二次吧乡固汽奏唱方程四种解法的总结是什么言厚低亮论识原叫？
直接开平方法、配方法、公式法和分解法。只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的式方程叫做一元二次方程[1]。一元二次方程经过理都可化成一般形式ax+bx+c=0（a≠0）。其中ax叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。一元二次方程成立必须同时满足三个条件：1、是式方程，即等号两边都是式，方程中如果有分母；且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程，方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程）。2、只含有一个未知数。3、未知数项的最高次数是2。
一元二次方程配方法公式？
配方法的一般步骤：
①移项（含未知数的项在等号左边，常数项在等号右边）
②二次项系数化为1，若二次项系数为1本步骤忽略（等式两边同时除以二次项系数）
③等式两边同时加上一次项系数一半的平方。根据a2+2ab+b2=（a+b)2将等式左边配成完全平方式，等式右边为常数。等式两边同时开方，把一元二次方程“降次”转化为一元一次方程。
解一元二次式的各种方法
解一元二次方程一般有以下四种方法:直接开平方法,因式分解法,配方法,求根公式法.(1)当方程形如(x-a)2=b(b≥0)时,可用直接开平方法;把方程变形:左边是一个含有x的式子的完全平方,而右边是一个非负数.1:先移项:含有未知数的项移到左边,含有常数的项移到右边.2:方程两边同加上一个合适的数.3:左边是一个完全平方,右边是一个非负常数.4:最后用开平方法来解(2)当方程左边可以直接简单因式分解时,可选用因式分解法;(3)配方法是一种重要的解法,尤其要熟悉配方法的整个过程,但解一般方程不选用这种解法;用配方法来解一元二次方程.具体的步骤有:第一:移项.第二:等式两边同加上一次项系数一半的平方.第三:再用开平方法来解方程.(4)公式法是一元二次方程最重要的,最常用的解法,任何一元二次方程都可以选用这种解法,我们有时也称它为万能公式.在解一元二次方程时,可先把方程化为一般形式,然后在b2-4ac≥0的前提下,把a,b,c的值代入上式中,可求得方程的两个根.的求根公式,用此公式解一元二次方程的方法叫做公式法
解一元二次方程的方法有几种
1、因式分解法。2、配方法。3、公式法。解二元一次方程，优先考虑因式分解法，该方法比较容易使用。因式分解法不能解决的，考虑配方法和公式法。
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