一元二次方程优秀教案人教版
日期：2022-01-23
这是一元二次方程优秀教案人教版，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。
1、一元二次方程的求根公式的推导
3、通过运用公式法解一元二次方程的训练，提高学生的运算能力，养成良好的运算习惯。
重点：一元二次方程的求根公式。
难点：求根公式的条件：b2-4ac≥0
学习过程：
一、自学质疑：
1、用配方法解方程：2x2—7x+3=0。
3、用配方法解一元二次方程，计算比较麻烦，能否研究出一种更好的方法，迅速求得一元二次方程的实数根呢？
二、交流展示：
刚才我们已经利用配方法求解了一元二次方程，那你能否利用配方法的基本步骤解方程ax2+bx+c=0（a≠0）呢？
三、互动探究：
用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法
由此我们可以看到：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根是由方程的系数a、b、c确定的。因此，在解一元二次方程时，先将方程化为一般形式，然后在b2—4ac≥0的前提条件下，把各项系数a、b、c的值代入，就可以求得方程的根。
注：（1）把方程化为一般形式后，在确定a、b、c时，需注意符号。
（2）在运用求根公式求解时，应先计算b2—4ac的值；当b2—4ac≥0时，可以用公式求出两个不相等的实数解；当b2—4ac<0时，方程没有实数解。就不必再代入公式计算了。
四、精讲点拨：
例1、课本例题
总结：其一般步骤是：
（3）在b2—4ac≥0的前提下，把a、b、c的直代入求根公式，求出的值，最后写出方程的根。
例2、解方程：
五、纠正反馈：
六、迁移应用：
例3、一个直角三角形三边的长为三个连续偶数，求这个三角形的三条边长。
教学目标：
知识与技能目标：
经历探索一元二次方程概念的过程，理解一元二次方程中的二次项、一次项、常数项；了解一元二次方程的一般形式，并会将一元二次方程转化成一般形式。
过程与方法目标：
经历抽象一元二次方程的概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型；在探索过程中培养和发展学生学习数学的主动性，提高数学的应用能力。
情感态度与价值观目标：
培养学生主动参与、合作交流的意识；经历独立克服困难和运用知识解决问题的成功体验，提高学生学习数学的信心。
教学重点：
教学难点：
一、情境引入
今天我们学习一元二次方程，温故而知新，我们都学过什么方程？（一元一次方程，分式方程，方程组）同桌两人说说学过这些方程的定义都是什么。你觉得学过这些方程难吗？只要你拿出你的学习热情来，就会感觉这节课的内容，也很简单。请你打开课本39页，从39页到40页议一议以上的内容，希望你准确而又迅速的在课本上列出方程，不用求解。列出方程后组内对一下答案，如有错误，出错的原因。（3’）
列方程正确率百分之百的请举手。祝贺你们，没举手的同学加油！（列对的同学多就问，否则问现在会列这些方程的请举手）
请你将上述三个方程，化简成等号右边等于0的形式。完成后组内对一下答案，先完成的小组把你们的成果写在黑板上，其余组跟黑板上的答案对一下，有不同意见的把你们组的答案也写上去。（黑板上的答案对吗？如有没约分的，问哪个更好？）
观察、思考刚才这3个方程2x2-13x+11=0,x2-8x-20=0,x2+12x-15=0,以及又加入的这两个方程x2+3x=0,4x2-5=0是一元一次方程吗？你猜这些方程叫什么方程？对，这样的方程就是我们今天学习的一元二次方程。
请大家先思考然后小组讨论导学案中探究一中的问题2到6，组长找好本题发言人，最后全班交流你们组对问题5和6的看法。
2、以上方程与一元一次方程有什么相同与不同之处？
4、如果我们借助字母系数来表示，那么以上方程能都化成一个方程_____，用字母表示系数时，要注意什么吗？
5、你们组归纳的一元二次方程的概念与课本40页的定义有区别吗？谁的更好？好在哪？
6、你认为一元二次方程的概念中重点要强调的是什么？为什么？
请3组同学交流一下你们讨论的问题5、6的结果。老师根据学生的回答，有针对性的提出为什么这样想？你的理由是什么？以强调a≠0。并板书（1）含一个未知数（2）2次（3）整式方程，一般形式ax2+bx+c=0(a、b、c、为常数a≠0)有没有要补充或者要发表不同看法的小组？
7、判断下列方程是不是一元二次方程,若不是请说明理由。
先自学课本40最后一段话，然后同桌两人说出黑板上3个方程的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项。
找一元二次方程各项及其各项系数时，需要注意什么吗？（先要是一般形式，系数带符号）请你完成探究二中问题1，请2组、4组选派一名同学分别上黑板（10、（2）两题。完成后对照课本41页例1自己检查对错，有困难的同学找组长和我。
1、判断下列方程是不是关于x的一元二次方程，如果是，写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。
问题3做对了的同学请举手？祝贺你们。出错的同学能不能把你的宝贵经验告诉我们，我们下次也好注意一下，别再出错？请你说说，谢谢你对我们的提醒。
2、已知关于x的方程（1）k为何值时，此方程为一元二次方程？（2）k为何值时，此方程为一元一次方程？谁能回答？为什么这样想？
四、课堂：
先小组内说出本节课你的收获，然后全班交流你们组的收获。大家看看哪个小组的收获多。
五、自我检测：
硕果累累，请你完成自我检测给你5分钟时间，做完的给我和组长检查。老师和小组长当堂批改
1、三个连续整数两两相乘，所得积的和为242，这三个数分别是多少？
2、把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它的二次项系数、常数项：
能力挑战：
（1）k为何值时，此方程为一元二次方程？并写出该一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项。（2）k为何值时，此方程为一元一次方程？
板书设计：一元二次方程
参加区优质课评比反思：
一、对三分之一课堂模式有了更深的理解。数学课的三分之一模式不是简单的把课堂分成三大块，也不是自主探索、小组合作、教师引导，一定是严格的都是15分钟，这要根据课程的内容，灵活的把握。我讲的《一元二次方程》这一节中，简单问题我就让大家自主探索，对于难度大的问题，自主探索后先小组合作，最后师生一起进行归纳。
二、台上一分钟，台下十年功。通过参加这次活动，我想，我在今后的课堂教学中，就要用优质课的进行教学，如果平时的授课方式和优质课的方式差别很大的话，虽然是经过加工了的课，但最后一定会带有很多平时上课的影子，很多不规范的方面还是难以改正的。
三、集体的智慧很重要。一个人的力量是有限的，但集体的力量是无限的。我很感谢我们数学组的各位老师对我的大力支持，他们一遍一遍的给提出修改建议，一次一次的跟我去听课，尤其是李老师、战老师、林老师，她们给了我教学理念上的很多建议，让我的教学理念有了很大的提升。
（2）掌握一元二次方程的一般形式，会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。
【教学重点】一元二次方程的概念、一元二次方程的一般形式
实际例子引入：列出的方程分别为X-7x+8=0,(X-7)(X+1)=89,X+8X-9=0
由学生说出这几个方程的共同特征，从而引出一元二次方程的概念。
1：一元二次方程的概念。（一个未知数、最高次2次、等式两边都是整式）
2：一元二次方程的一般形式（形如aX+bX+c=0)
任一个一元二次方程都可以转化成一般形式，注意二次项系数不为零
3：讲解例子
4：利用因式分解法解一元二次方程
5：讲解例子
6：一般步骤
学习目标：
1、使学生会用列一元二次方程的方法解决有关增长率的应用题;
学习重点：
会列一元二次方程解关于增长率问题的应用题。
学习难点：
学习过程：
一、复习提问：
1.情境导入
问题：“坡耕地退耕还林还草”是国家为了解决西部地区水土流失生态问题、帮助广大农民脱贫致富的一项战略措施，某村村长为带领全村群众自觉投入“坡耕地退耕还林还草”行动，率先示范.2002年将自家的坡耕地全部退耕，并于当年承包了30亩耕地的还林还草及管理任务，而实际完成的亩数比承包数增加的百分率为x，并保持这一增长率不变，2003年村长完成了36.3亩坡耕地还林还草任务，求①增长率x是多少?②该村有50户人家，每户均地村长2003年完成的亩数为准，国家按每亩耕地500斤粮食给予补助，则国家将对该村投入补助粮食多少万斤?
教师引导学生分析关于环保的情境导入问题，这是一个平均增长率问题，它的基数是30亩，平均增长的百分率为x，那么第一次增长后，即2002年实际完成的亩数是30(1+x)，第二次增长后，即2003年实际完成的亩数是30(1+x)2，而这一年村长完成的亩数正好是36.3亩.
教师引导学生运用方程解决问题：
①30(1+x)2=36.3;(1+x)2=1.21;1+x=±1.1;x1=0.1=10%，x2=-2.1(舍去)，所以增长的百分率为10%.
②全村坡耕地还林还草为50×36.3=1815(亩)，国家将补助粮食1815×500=907500(斤)=90.75(万斤).
说明：题目中求平均每月增长的百分率，直接设增长的百分率为x，好处在于计算简便且直接得出所求。
例、某产品原来每件是600元，由于连续两次降价，现价为384元，如果两降价的百分率相同，求每次降价百分之几?
一商店1月份的利润是2500元，3月份的利润达到3000元，这两个月的利润平均增长的百分率是多少(精确到0.1%)?
五、课堂总结：
1、善于将实际问题转化为数学问题，严格审题，弄清各数据间相互关系，正确列出方程。
2、注意解方程中的巧算和方程两个根的取舍问题。
六、反馈练习：
1.某商品计划经过两个月的时间将售价提高20%，设每月平均增长率为x，则列出的方程为()
C.(1+x)2=1.2D.(1+x%)2=1+20%
2.某工厂计划两年内降低成本36%，则平均每年降低成本的百分率是()
3.某种*剂原售价为4元，经过两次降价，现在每瓶售价为2.56元，问平均每次降低百分之几?
一元二次方程的公式法是什么?
我用的方法是“分解因式法”我不是很能理解这么长的式子，所以笔记上就有每个式子的算法，就是括号里的内容，其实没什么用处ax^2（x的平方）+bx+c=0a(x^2+b/a*x+c/a)=0（提取公因式a）a[x^2+b/a*x+(b/2a)^2-(b/2a)^2+c/a]=o(凑完全平方公式)a[(x+b/2a)^2-b^2/4a^2+c/a]=o(合并完全平方式）a(x+b/2a)^2-b^2/4a^2+c=0（去括号）a(x+b/2a)^2=b^2/4a-c(移项)(x+b/2a)^2=b^2/4a^2-c/a(左右同乘a）x+b/2a=±√(b^2/4a^2-4c^2/4a^2)（左右开根号）x+b/2a=±√[(b^2-4ac)/4a^2]（通分）x=[-b±√(b^2-4ac)]/2a（移项、通分）∴在ax^2+bx+c=0中，x=[-b±√(b^2-4ac)]/2a
一元二次方程的求根公式是什么？
一元二次方程的求根公式，当Δ＝b＾2－4ac≥0时，x＝［－b±（b＾2－4ac）＾（1／2）］／2a。当Δ＝b＾2－4ac＜0时，x＝｛－b±［（4ac－b＾2）＾（1／2）］i｝／2a。一元二次方程的求根公式在方程的系数为有理数、实数、复数或是任意数域中适用。一元二次方程中的判别式:Δ＝b＾2－4ac，应该理解为“如果存在的话，两个自乘后为的数当中任何一个”。在某些数域中，有些数值没有平方根。扩展资料：一元二次方程的根公式是由配方法推导来的：1、ax＾2＋bx＋c＝0（a≠0，＾2表示平方），等式两边都除以a，得x＾2＋bx／a＋c／a＝0，2、移项得x＾2＋bx／a＝－c／a，方程两专边都加上一次项系数b／a的一半的平方，即方程两边都加上b＾2／4a＾2，3、配方得x＾2＋bx／a＋b＾2／4a＾2＝b＾2／4a＾2－c／a，即（x＋b／2a）＾2＝（b＾2－4ac）／4a，4、开根属后得x＋b／2a＝±［√（b＾2－4ac）］／2a（√表示根号），最终可得x＝［－b±√（b＾2－4ac）］／2a。
一元二次方程的复数根公式
1、一元二次方程必须同时满足三个条件：
①这是一个整式方程，即等号两边都是整式，方程中如果是有分母；且未知数是在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程，方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程，是一个无理方程。
2、一般形式：ax²+bx+c=0(a≠0)
折叠变形式：ax²+bx=0(a、b是实数，a≠0)；ax²+c=0(a、c是实数，a≠0)；ax²=0(a是实数，a≠0)。
折叠公式法：x=(-b±√(b^2-4ac))/2a求根公式
折叠十字相乘法：x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）
由韦达定理得：x1+x2=-b/a，x1x2=c/a.
则将x1，x2代入得：2m=-b/a，m^2+n^2=c/a.即可解得m，n. ；
解：
原创|2022-09-2416:03:52|浏览：1.6万
一元二次方程两个实数根公式？
一元二次方程求根公式：
当Δ=b^2-4ac≥0时,x=[-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/2a
当Δ=b^2-4ac＜0时,x={-b±[(4ac-b^2)^(1/2)]i}/2a
只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。它的标准形式为:ax²+bx+c=0（a≠0）
一元二次方程有4种解法，即直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法。
公式法可以解任何一元二次方程。
一来自元二次方程求根公式360问答有哪些？
一元二次方程求根公式是：x=[-b±√(b²-4ac)]/2a，其中，a、b、c分别为一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。这个公式可以通过配方法或者直接套用求根公式来求解一元二次方程的根。在使用这个公式时，需要注意以下几点：1.确保所提供的数据准确无误，否则计算结果可能会出现错误。2.在计算过程中，要注意符号和根式中的根指数。3.如果一元二次方程的判别式Δ=b²-4ac小于0，那么这个方程没有实数解，只有复数解。总之，一元二次方程求根公式是一种非常实用的工具，可以用来求解一元二次方程的实数根和复数根，并且适用于各种情况下的求解。
实系数一元二次方程的求根公式？
对于实系数一元二次方程，
1.如果判别式大于零，则方程有两个相异的实根。
2.如果判别式等于零，则方程有两个相等的实根。
3.如果判别式小于零，则有两个复数根（虚根）。
如果二次方程有复数根，则一定有两个复数根，绝对不会出现一个实数根一个复数根的情况。
以上的结论运用配方法，韦达定理和简单的复数知识就可以证明了。
如果方程的系数不一定全是实数的话，可以构造例子：
x^2-ix=0
一般的，对于一元代数方程，Gauss给出了代数基本定理。这个定理描述了一元代数方程根的存在情况和虚根成对的性质。这个定理在高等代数数或者多项式的专注力都有提及。证明比较麻烦，可能用到因式定理，余式定理，复数的知识甚至是拓扑的内容，不是很容易理解。
怎么求复根？
要求一个复数的复根，首先需要将该复数表示为极坐标形式，即r(cosθ + isinθ)。
然后，复根可以通过求解方程z^n = r(cos(θ/n + 2πk/n) + isin(θ/n + 2πk/n))来获得，其中n是所求的复根的次数，k是整数。这个方程有n个不同的解，分别对应于复平面上的n个点。通过改变k的值，可以得到所有的复根。
怎么算出一元二次方程中的根啊
2根相等，则有b方-4ac=0，即16-4(m-1/2)=0得m=9/2
一元二次方程求根公式详细的推导过程是什么？
一元二次方程求根公式详细的推导过程：一元二次方程的根公式是由配方法推导来的，那么由ax^2+bx+c(一元二次方程的基本形式）推导根公式的详细过程如下，1、ax^2+bx+c=0(a≠0,^2表示平方)，等式两边都除以a，得x^2+bx/a+c/a=0，2、移项得x^2+bx/a=－c/a，方程两边都加上一次项系数b/a的一半的平方，即方程两边都加上b^2/4a^2，3、配方得x^2+bx/a+b^2/4a^2=b^2/4a^2－c/a，即（x+b/2a）^2=(b^2-4ac)/4a，4、开根后得x+b/2a=±[√(b^2-4ac)]/2a(√表示根号)，最终可得x=[-b±√(b^2-4ac)]/2a。一、一元二次方程求根公式1、2、公式描述：一元二次方程形式:ax2+bx+c=0(a≠0，且a，b，c是常数)。3、满足条件：（1）是整式方程，即等号两边都是整式，方程中如果有分母；且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程，方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程）。（2）只含有一个未知数。（3）未知数项的最高次数是2。
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